অসীম ধারাঃ SSC Higher Math Chapter 7 (1-17) Full Part

অসীম ধারাঃ SSC Higher Math Chapter 7 (1-17) Full Part

অসীম ধারাঃ SSC Higher Math Chapter 7 (1-17) Full Part

৯. প্রদত্ত অনুক্রমের 10 তম পদ, 15 তম পদ এবং n তম পদ নির্ণয় কর:

 (ক) এর সমাধান:

প্রদত্ত অনুক্রমটি হলো 2, 4, 6, 8, 10, 12, প্রদত্ত অনুক্রমটির, যেকোনো পদ তার পূর্ববর্তী পদ = 4-2-2 অথবা, 6-4-2 অথবা, 86 2 সুতরাং, প্রদত্ত অনুক্রমটি একটি সমান্তর অনুক্রম। এখানে, প্রথম পদ a= 2 এবং সাধারণ অন্তর d 2 আমরা জানি, অনুক্রমের n তম পদ = a + (n-1)d :: অনুক্রমটির ! () তম পদ, 10 = 2 + ( 101 )2 [ a- 2d 2 n = 101 = 2 + 9x2 -2+18 =20

15x-2-(15-1)2 [=2.d-2-15) =2+28 = 2 + 14 * 2 30 u = 2 + (r - 1) * 2 - 2 + 2r - 2 omega = 2, omega = 2 ,u=r| - 2r Ans: 20, 302r

 

YOUR HW

 

(ক) এর সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ, a=1

এবং সাধারণ অনুপাত, r=¹/₂÷1=¹/₂

এখানে, | r |=| ½ | = ½ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

S_∞

     a

=-------

    1-r

      1

=--------

    1-½

      1

=-------

      ½

= 2

খ) ¹/₅-²/₅²+⁴/₅³-⁸/₅⁴+….

সমাধানঃ

ধারাটির ১ম পদ, a=¹/₅

এবং সাধারণ অনুপাত, r=-²/₅² ÷¹/₅=-²/₂₅÷¹/₅=-²/₂₅✕5=-²/₅

এখানে, | r |=|-²/₅ | =²/₅ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

S_∞

     a

=-------

    1-r

      ¹/₅

=-----------

    1-(-²/₅)

      ¹/₅

=-------

      ⁷/₅

= ¹/₇

গ) 8+2+¹/₂+¹/₈+¹/₃₂+….

সমাধানঃ

ধারাটির ১ম পদ, a=8

এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷8=¼

এখানে, | r |=| ¹/₄ | = ¼ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

S_∞

     a

=-------

    1-r

      8

=--------

    1-¹/₄

      8

=-------

      ³/₄

= ³²/₃

ঘ) 1+2+4+8+16+….

সমাধানঃ

ধারাটির ১ম পদ, a=1

এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷1=2

এখানে, | r |=| 2 | = 2 > 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নেই।

ঙ) ½+(-¹/₄)+¹/₈+(-¹/₁₆)+….

সমাধানঃ

ধারাটির ১ম পদ, a= ½

এবং সাধারণ অনুপাত, r= -¼ ÷ ½ = -¼✕2 = -½  

এখানে, | r |=| -½ | = ½ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

S_∞

     a

=-------

    1-r

      ½

=-----------

    1-(-½)

      ½

=---------

     1+ ½

    ½

=-----

    ³/₂

= ½✕²/₃

=¹/₃

১২. নিচের ধারাগুলোর প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় কর: ক) 7 + 77 + 777 + ....

7+77+777+….+n তম পদ

=7(1+11+111+….+ n তম পদ)

=⁷/₉.(9+99+999+….+n তম পদ)

=⁷/₉.{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+….+n তম পদ}

=⁷/₉.{(10+100+1000+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}

=⁷/₉.{(10+10²+10³+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}

=⁷/₉.{10(1+10+10²+….+n তম পদ)-n}

    7              10ⁿ-1

=--- {( 10✕---------)-n}

    9              10-1

=⁷⁰/₈₁(10ⁿ-1)-⁷ⁿ/₉

খ) 5+55+555 + ... YOUE H.W

১৩. x-এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে

  1       1           1

------+--------+--------+….

x+1  (x+1)²  (x+1)³

অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ধারাটি,

  1       1          1

----+-------+-------+….

x+1  (x+1)²  (x+1)³

এখানে,

প্রথম পদ,

       1

a=--------

      x+1

এবং সাধারণ অনুপাত,

r=

    1            1

---------÷---------

(x+1)²       (x+1)

      1

=---------

     x+1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয়,

অর্থাৎ,

      1

|---------| < 1

    x+1

বা, |x+1| > 1

তাহলে,

x+1 > 1  [অঋণাত্মক হলে]

বা, x > 0

এবং,

-(x+1) > 1  [ঋণাত্মক হলে]

বা, x+1 < -1

বা, x < -2

∴ নির্ণেয় শর্তঃ x < -2 অথবা x > 0

∴ অসীমতক সমষ্টি

S_∞

     a

=-------

    1-r

        1

     ------

      x+1

=---------

         1

  1- --------

       x+1

       1

   --------

     x+1

=---------

    x+1-1

   ---------

     x+1

     1       x+1

=------✕-------

   x+1        x

= ¹/_x

১৪. প্রদত্ত পৌনঃপুনিক দশমিকগুলোকে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

ক) 0.27

খ) 2.305

গ) 0.0123

ঘ) 3.0403

ক)

2727272727……………

ধারাটির ১ম পদ a=.27

এবং সাধারন অনুপাত r=^.0027/_.27 = 0.1 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি

S_∞

     a

=-------

    1-r

     .27

=---------

    1-.01

      .27

=----------

      .99

      27

=----------

      99

       3

=---------

      11

খ)

2.305 305 305……………

এখানে, .305+.000305+.000000305+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা

ধারাটির ১ম পদ a=.305

এবং সাধারন অনুপাত r=^.000305/_.305 = .001 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি

S_∞

     a

=-------

    1-r

     .305

=---------

    1-.001

     .305

=----------

     .999

     305

=----------

     999

         305

2.305 ------

          999

গ)

.0123 0123 0123…………

ধারাটির ১ম পদ a=.0123

এবং সাধারন অনুপাত r=^.0000123/_.0123 = .001 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি

S_∞

     a

=-------

    1-r

    .0123

=---------

   1-.001

    .0123

=----------

     .999

    123

=----------

    9990

     41

=---------

    3330

ঘ)

3.0403403403………

এখানে, .0403+.0000403+.0000000403+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা

ধারাটির ১ম পদ a=.0403

এবং সাধারন অনুপাত r=^.0000403/_.0403 = .001 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি

S_∞

     a

=-------

    1-r

    .0403

=---------

    1-.001

    .0403

=----------

     .999

     403

=----------

    9990

১৭. চারটি কুকুর এক কিলোমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার কোণায় দাঁড়িয়ে আছে। এবার

প্রতিটি কুকুর একই বেগে সরাসরি ডানের কুকুরের দিকে চোখ বন্ধ করে অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম

      করে। চোখ খুলেই আবার ডানে অবস্থিত কুকুরের দিকে একইভাবে অর্ধেক দূরত্ব দৌড়ায়।

ক) এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলোর অবস্থান কী হবে? তারা প্রত্যেকে কত

দূরত্বই বা অতিক্রম করবে?

খ) অর্ধেক দূরত্ব পর দিক পরিবর্তন না করে যদি k ভাগের একভাগ অতিক্রম করে দিক

পরিবর্তন করে তাহলে উপরের প্রশ্নের উত্তর দাও।

গ) ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র না হয়ে যদি সমবাহু ত্রিভুজ হতো তাহলে উপরের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও ।

Simple Calculator